Os infinitos

Em algum lugar, na madrugada da civilização, o pastor leva o rebanho para o pasto. Para cada ovelha que deixa o curral ele coloca uma pedrinha numa pilha. Ao final do dia, ele retira da pilha uma pedrinha por cada animal que regressa ao curral. Desta forma ele pode conferir que nenhum animal foi extraviado durante o dia.

Esta cena se repete incontáveis vezes, até que alguém começa a perceber que existe algo em comum entre cinco ovelhas e cinco pedras, que é o conceito abstrato de "cinco". Deve ter sido mais ou menos assim que descobrimos os números. Não pode ser à toa que a palavra cálculo vem do latim calculus, que significa pedrinha ou seixo.

Abstraindo dessa ideia milenar, dizemos que dois conjuntos têm o mesmo cardinal (número de elementos) se é possível estabelecer uma correspondência um-a-um entre os elementos de um e os elementos do outro, tal como o pastor faz entre o rebanho e a pilha. Na segunda metade do século 19, o matemático alemão Georg Cantor (1845 - 1918) propôs aplicar essa ideia mesmo quando os conjuntos são infinitos. A teoria que ele desenvolveu a partir daí trouxe muitas surpresas, quase paradoxais.

Para começar, um conjunto infinito pode ter o mesmo cardinal (o mesmo "número de elementos") que um subconjunto seu. Por exemplo, o conjunto dos números inteiros tem o mesmo cardinal que o conjunto dos números naturais (inteiros positivos), apesar de também conter os números negativos.

Por outro lado, Cantor descobriu que o conjunto dos números reais tem um cardinal estritamente maior do que o do conjunto dos números naturais. A partir desse avanço, ele construiu uma hierarquia vertiginosa de cardinais infinitos, uns maiores do que os outros. O infinito não é único, há uma infinidade de infinitos diferentes!

Essa teoria causou reações muito diversas, todas intensas. Muitos a rejeitaram de modo contundente, principalmente por discordarem de que conjuntos infinitos existam como coisas completas e acabadas (o que os filósofos chamam "infinito atual").

O compatriota Leopold Kronecker (1823 - 1891), que fora professor e mentor de Cantor, foi devastador: "Caro senhor, a sua prova me parece incompreensível e até impossível. O senhor me faria feliz se abandonasse essa teoria do infinito completamente. O infinito atual não tem lugar na matemática. Eu nunca acreditei no infinito atual e não vejo razão nenhuma para aceitá-lo", escreveu em carta a Cantor.

Henri Poincaré (1854 - 1912), ainda que mais comedido, não teve dúvida em afirmar que "O infinito atual não existe: o que chamamos infinito é apenas a possibilidade sem fim de criar novos objetos, sem importar quantos objetos existem já. As gerações futuras considerarão essa teoria uma doença, da qual que conseguiram se livrar."

Já David Hilbert (1862 - 1943) adorou: "Do paraíso que Cantor para nós criou, ninguém poderá nos expulsar", afirmou.

Hoje, a controvérsia está superada, com a teoria dos infinitos de Cantor bem integrada ao edifício da matemática. Ajudou para isso que alguns detratores fossem incoerentes, usando a ideia de infinito atual em seu próprio trabalho matemático, ao mesmo tempo em que insistiam que ela não tem sentido.

Voltarei ao tema.