O filósofo Aristóteles (384–322 a.C.) foi o primeiro a formular a distinção entre infinito potencial e infinito atual. O infinito potencial se refere a um processo que pode continuar indefinidamente, como o ato de contar: 1, 2, 3, … Já o infinito atual, seria um infinito completo, realizado. Aristóteles rejeitou esta ideia sumariamente: "O infinito existe em potência, mas não em ato. Pois é impossível existir o infinito em ato."
Em 1656, o inglês John Wallis publicou "Arithmetica Infinitorum" (Aritmética dos Infinitos), um livro fundamental na história do cálculo. Nele, usou o símbolo ∞ para representar quantidades infinitas. Wallis não disse onde se inspirou para escolher esse símbolo, e isso virou tema de teorias mais ou menos esotéricas (e pouco relevantes).
Muito mais importante é entendermos o que é o infinito. Por vezes ele é tratado como número (como quando escrevemos que ∞ + ∞ = ∞), mas isso não é realmente correto: ∞ – ∞ não faz sentido, por exemplo. E a teoria que Georg Cantor (1845–1918) desenvolveu dois séculos depois mostrou que a situação é muito mais sutil do que se pensava, pois não existe um único infinito, existe uma infinidade deles!
Cantor ousou desafiar o pensamento de Aristóteles e tratar o infinito como objeto atual. Ele partiu da ideia milenar de que dois conjuntos têm o mesmo cardinal (número de elementos) se pudermos colocar os seus elementos em correspondência um-a-um. E descobriu que alguns conjuntos infinitos têm mais elementos do que outros!
A prova é tão brilhante que foi depois usada por Kurt Gödel (1906–1978), Alan Turing (1912–1954) e muitos outros matemáticos. E tão simples que eu consigo explicar aqui.
Suponha que existissem tantos números reais quantos números naturais. Então, os reais poderiam ser todos listados em sequência: x1, x2, x3, ... Considere x=0,b1b2b3… onde b1 é diferente do primeiro dígito decimal de x1, b2 é diferente do primeiro dígito decimal de x2, etc. Então x não está na lista, o que é absurdo pois supusemos que ela contém todos os reais. Isso prova que tal lista não pode existir.
Cantor chamava "enumerável" ao cardinal do conjunto dos naturais e "contínuo" ao cardinal do conjunto dos reais. Ele mostrou que o enumerável é o menor de todos os cardinais infinitos e, tendo provado que o contínuo é maior do que o enumerável, do modo que descrevi, ele partiu para exibir muitos outros cardinais (uma hierarquia infinita!) todos distintos e maiores do que o contínuo.
Para completar sua teoria, faltava mostrar que o contínuo é o segundo maior dos infinitos, em outras palavras, que não existe nenhum conjunto com mais elementos do que os naturais, mas menos do que os reais. Tentou provar essa afirmação, que chamou Hipótese do Contínuo, durante anos. Sem sucesso.
Mais de meio século depois, Kurt Gödel e Paul Cohen (1934–2007) mostraram que a Hipótese do Contínuo não é nem verdadeira nem falsa: ela não pode ser provada, mas também não pode ser excluída ("desprovada") a partir dos axiomas da matemática. Por essa realização, Cohen ganhou a medalha Fields em 1966.
E eu continuo sem entender bem o que tudo isso significa dentro do antigo debate sobre a natureza da matemática: descoberta, como eu penso, ou inventada?
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